Sistemas Reais

Sequências reais

Função real: Uma função f sobre um conjunto X com imagem no conjunto Y, denotada por f:XY, associa a cada xX um único elemento yY, para todos os elementos de X. O que caracteriza o nome da função é o contradomínio Y da mesma. Se Y é um conjunto de:

1. números reais, temos uma função real.

2. vetores, temos uma função vetorial.

3. matrizes, temos uma função matricial.

4. números complexos, a função é complexa.

Neste trabalho, o conjunto dos números naturais será indicado por:

N={1,2,3,4,5,...}

Sequências reais: Uma sequência real (ou sucessão) é uma função f:NR que associa a cada número natural n um número real f(n). O valor numérico f(n) é o termo de ordem n da sequência. Do modo como definimos a sequência, o domínio de f é um conjunto infinito, mas o contradomínio poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma sequência é indicado por Dom(f)=N e a imagem de uma sequência por Im(f)={a₁,a₂,a₃, ...}.

Muitas vezes, a sequência (função) é confundida com a Imagem da função (conjunto de números), no entanto, esta confusão até mesmo colabora para o entendimento do significado de uma sequência no âmbito do Ensino Médio.

Um fato importante é que a função determina a regra que os elementos do conjunto imagem devem seguir.

Exemplos importantes de sequências reais

Função identidade: Seja f:NR definida por f(n)=n. Esta função pode ser representada graficamente de várias formas, sendo que duas delas estão mostradas abaixo, com o diagrama de Venn-Euler (esquerda) e o gráfico cartesiano (direito). Neste caso, Dom(f)=N e Im(f)={1,2,3,...}

Sequência de números pares: Seja f:NR definida por f(n)=2n. Neste caso Im(f)={2,4,6,...}. Duas representações gráficas para esta sequência, são:

Sequência de números ímpares: A função f:NR definida por f(n)=2n-1, está representada abaixo e a sua imagem é Im(f)={1,3,5,...}.

Sequência dos recíprocos: A sequência dos recíprocos (ou inversos) dos números naturais f:NR é definida por f(n)=1/n. Neste caso Im(f)={1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...}.

Sequência constante: Uma sequência constante é uma função f:NR definida, por exemplo, por f(n)=3 e pode ser representada graficamente por:

Neste caso, Im(f)={3}

Sequência nula: A sequência nula f:NR é definida por f(n)=0. A imagem é o conjunto Im(f)={0}. f pode ser vista graficamente como:

Sequência alternada: Uma sequência alternada f:NR pode ser definida por f(n)=(-1)ⁿn. Esta sequência de números fica alternando o sinal de cada termo, sendo um negativo e o seguinte positivo, e assim por diante. A imagem é o conjunto:

Im(f)={-1,+2,-3,+4,-5,+6,...}

Sequência aritmética: A sequência aritmética f:NR é definida por: f(n)=a₁+(n-1)r e pode ser vista com os gráficos abaixo:

Neste caso: Im(f)={a₁,a₁+r,a₁+2r,...,a₁+(n-1) r,...}.

Sequência geométrica: Uma sequência geométrica é uma função f:NR definida por: f(n)=a₁q^n-1 que pode ser esboçada graficamente por:

Aqui Im(f)={a₁,a₁q,a₁q²,...,a₁q^n-1,...}.

Sequência recursiva:: Uma sequência é recursiva se, o termo de ordem n é obtido em função dos termos das posições anteriores.

Exemplo: A importante sequência de Fibonacci, definida por f:NR tal que f(1)=1 e f(2)=1 com

f(n+2)=f(n)+f(n+1)

para n>1, é uma sequência recursiva.

O conjunto imagem é Im(f)={1,1,2,3,5,8,13,21,34,...}

f(1)=1 f(2)=1 f(3)=f(1)+f(2)= 1+ 1= 2 f(4)=f(2)+f(3)= 1+ 2= 3 f(5)=f(3)+f(4)= 2+ 3= 5 f(6)=f(4)+f(5)= 3+ 5= 8 f(7)=f(5)+f(6)= 5+ 8=13 f(8)=f(6)+f(7)= 8+13=21 f(9)=f(7)+f(8)=13+21=34 ... ... ...

As sequências de Fibonacci aparecem de uma forma natural em estudos de Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de beleza. O livro "A divina proporção", Huntley, Editora Universidade de Brasília, trata do assunto.

Observação: O gráfico de uma sequência não é formado por uma coleção contínua de pontos mas por uma coleção discreta. Eventualmente usamos retas ou curvas entre dois pontos dados para melhor visualizar o gráfico, mas não podemos considerar tais linhas como representativas do gráfico da sequência.

Toda vez que nos referirmos a uma sequência f:NR tal que f(n)=a_n, simplesmente usaremos a imagem da sequência f, através do conjunto

Im(f)={ a₁, a₂, a₃, ..., a_n-1, a_n, ...}

Sequências finitas e infinitas

Quanto ao número de elementos da imagem, uma sequência poderá ser finita ou infinita.

Sequência Finita: Uma sequência é finita se, o seu conjunto imagem é um conjunto finito.

Exemplos: As sequências f:NR definidas por f(n)=0, g(n)=(-1)ⁿ e h(n)=cos(n/3) são finitas e as suas imagens são, respectivamente:

Im(f)={0}, Im(g)={-1,1}, Im(h)={1/2,-1/2,-1,1}

Sequência Infinita: Uma sequência é infinita se, o seu conjunto imagem é um conjunto infinito.

Exemplos: As sequências f:NR definidas por f(n)=2n, g(n)=(-1)ⁿn, h(n)=sin(n) e k(n)=cos(3n) são infinitas, pois suas imagens possuem infinitos termos.

Exemplo: Seja a sequência infinita f:NR, cujo conjunto imagem é dado por Im(f)={5,10,15,20,...}. Observamos que

f(1)=5=5×1,  f(2)=10=5×2,  f(3)=15=5×3,  ..., f(n) = 5n

Este é um exemplo de uma sequência aritmética, o que garante que ela possui uma razão r=5, o que permite escrever cada termo como

f(n)=f(1)+(n-1).r

No âmbito do Ensino Médio, esta expressão é escrita como:

a_n=a₁+(n-1).r

Sequências aritméticas e PA

Uma sequência muito útil é a sequência aritmética, que possui domínio infinito. Esta sequência é conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Aritmética infinita, mas o objeto matemático denominado Progressão Aritmética finita não é uma sequência, uma vez que o domínio da função que define a progressão, é um conjunto finito {1,2,3,...,m} contido no conjunto N dos números naturais.

Progressão Aritmética finita: Surge aqui o conceito de Progressão Aritmética finita, que é uma coleção finita de números reais com as mesmas características que uma sequência aritmética. As Progressões Aritméticas são denotadas por PA e são caracterizadas pelo fato que, cada termo a partir do segundo, é obtido pela soma do anterior com um número fixo r, denominado razão da PA.

Na sequência, apresentamos os elementos básicos de uma Progressão Aritmética da forma:

C = { a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ..., a_m-1, a_m }

1. m é o número de termos da PA.

2. n indica uma posição na sequência. n é o índice para a ordem do termo geral a_n no conjunto C.

3. a_n é o n-ésimo termo da PA, que se lê a índice n.

4. a₁ é o primeiro termo da PA, que se lê a índice 1.

5. a₂ é o segundo termo da PA, que se lê a índice 2.

6. a_m é o último elemento da PA.

7. r é a razão da PA e é possível observar que

   a₂=a₁+r, a₃=a₂+r, ..., a_n=a_n-1+r, ..., a_m=a_m-1+r

A razão de uma Progressão Aritmética, pode ser obtida, subtraindo o termo anterior (antecedente) do termo posterior (consequente), ou seja:

a₂-a₁ = a₃-a₂ = a₄-a₃ = ...  a_n-a_n-1 = r

Exemplos de Progressões Aritméticas (finitas)

1. A PA definida pelo conjunto C={2,5,8,11,14} possui razão r=3, pois:

   2+3=5,  5+3=8,  8+3=11,  11+3=14

2. A PA definida pelo conjunto M={1,2,3,4,5} possui razão r=1, pois:

   1+1=2,  2+1=3,  3+1=4,  4+1=5

3. A PA definida por M(3)={3,6,9,12,15,18} possui razão r=3, pois:

   6-3 = 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3

4. A PA definida por M(4)= {0,4,8,12,16 } possui razão r=4, pois:

   4-0 = 8-4 = 12-8 = 16-12 = 4

Média aritmética: Dados n números reais x₁, x₂, x₃, ..., x_n, definimos a média aritmética entre estes números, denotada pela letra x com um traço sobre a mesma, como a divisão entre a soma desses números e o número de elementos:

Na Progressão Aritmética, cada termo é a média aritmética entre o antecedente e o consequente do termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de sequência.

Fórmula do termo Geral de uma PA

Consideremos a PA com razão r, definida por

P = { a₁, a₂, a₃, ..., a_n-1, a_n }

Observamos que:

a₁ = a₁ = a₁ + 0r
a₂ = a₁ + r = a₁ + 1r
a₃ = a₂ + r = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r = a₁ + 3r
... ... ... ... 
a_n = a_n-1+r = a₁+(n-1)r

e obtemos a fórmula do termo geral da PA:

a_n = a₁ + (n-1) r

Com o material apresentado, podemos obter qualquer termo de uma Progressão Aritmética (PA), sem precisar escrevê-la completamente.

Exemplo: Seja a PA com razão r=5, dada pelo conjunto C={3,8,...,a₃₀,...,a₁₀₀}. O trigésimo e o centésimo termos desta PA podem ser obtidos, substituindo os dados da PA na fórmula do termo geral a_n=a₁+(n-1)r. Assim:

a₃₀=3+(30-1)3=90   e   a₁₀₀=3+(100-1)3=300

Qual é o termo de ordem n=2²⁰ desta PA?

Exemplo: Para inserir todos os múltiplos de 5, que estão entre 21 e 623, montaremos uma tabela.

Aqui, o pr