Números Complexos

Introdução aos números complexos

Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções. Por exemplo, se estivermos trabalhando no conjunto dos números racionais, a equação 2x+7=0, terá uma única solução dada por x=-7/2. assim, o conjunto solução será:

S = { 7/2 }

mas, se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto solução será o conjunto vazio, isto é:

S = Ø = { }

De forma análoga, ao tentar obter o conjunto solução para a equação x²+1=0 sobre o conjunto dos números reais, obteremos como resposta o conjunto vazio, isto é:

S = Ø = { }

o que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns, obteremos:

x = R[-1] =

onde R[-1] é a raiz quadrada do número real -1. Isto parece não ter significado prático e foi por esta razão que este número foi chamado imaginário, mas o simples fato de substituir R[-1] pela letra i (unidade imaginária) e realizar operações como se estes números fossem polinômios, faz com que uma série de situações tanto na Matemática como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos números complexos.

Definição de número complexo

Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma

z = a + b i

onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:

a = Re(z) e b = Im(z)

Exemplos de tais números são apresentados na tabela.

Número complexo	Parte real	Parte imaginária
2 + 3 i	2	3
2 - 3 i	2	-3
2	2	0
3 i	0	3
-3 i	0	-3
0	0	0

Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

Elementos complexos especiais

Igualdade de números complexos: Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, definimos a igualdade entre z e w, escrevendo

z = w se, e somente se, a = c e b = d

Para que os números complexos z=2+yi e w=c+3i sejam iguais, deveremos ter que c=2 e y=3.
Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo z=a+bi é o número complexo denotado por -z=-(a+bi), isto é:

-z = Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)i

O oposto de z=-2+3i é o número complexo -z=2-3i.
Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o número complexo denotado por z*=a-bi, isto é:

z* = conjugado(a+bi) = a + (-b)i

O conjugado de z=2-3i é o número complexo z*=2+3i.

Operações básicas com números complexos

Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:

z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
z.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Observação: Tais operações lembram as operações com expressões polinomiais, pois a adição é realizada de uma forma semelhante, isto é: (a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x e a multiplicação (a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo que aparece na forma:

a + b x
c + d x    X
_________________
ac + bcx
     adx + bdx²
______________________
ac + (bc+ad)x + bdx²


de forma que devemos substituir x² por -1.
Exemplos:

    
    Se z=2+3i e w=4-6i, então z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i.
    
    
    Se z=2+3i e w=4-6i, então z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i.
    




Potências e curiosidade sobre a unidade imaginária
Potências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma sequência de valores muito simples para as potências de i:

    
        
            Potência
            i²
            i³
            i⁴
            i⁵
            i⁶
            i⁷
            i⁸
            i⁹
        
        
            Valor
            -1
            -i
            1
            i
            -1
            -i
            1
            i
        
    

Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão do expoente por 4.
Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i⁴⁰², i⁴⁰³³ e i¹⁹⁹⁸. Como exemplo: i⁴⁰²=i⁴⁰⁰.i² = 1.(-1) = -1
Curiosidade geométrica sobre i: Ao pensar um número complexo z=a+bi como um vetor z=(a,b) no plano cartesiano, a multiplicação de um número complexo z=a+bi pela unidade imaginária i, resulta em um outro número complexo w=-b+ai, que forma um ângulo reto (90 graus) com o número complexo z=a+bi dado.

Exercício: Tomar um número complexo z, multiplicar por i para obter z1=i.z, depois multiplicar o resultado z1 por i para obter z2=i.z1. Continue multiplicando os resultados obtidos por i até ficar cansado ou então use a inteligência para descobrir algum fato geométrico significativo neste contexto. Após constatar que você é inteligente, faça um desenho no plano cartesiano contendo os resultados das multiplicações.



O inverso de um número complexo
Dado o número complexo z=a+bi, não nulo (a ou b deve ser diferente de zero) definimos o inverso de z como o número z^-1=u+iv, tal que
z . z^-1 = 1
O produto de z pelo seu inverso z^-1 deve ser igual a 1, isto é:
(a+bi).(u+iv) = (au-bv)+(av+bu)i = 1 = 1+0.i
o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:
a u - b v = 1

b u + a v = 0
Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma única solução (pois a ou b são diferentes de zero), fornecendo:
u = a/(a²+b²)

v = -b/(a²+b²)
assim, o inverso do número complexo z=a+bi é:

Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso de um número complexo, por exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se:

    
    Escrever o inverso desejado na forma de uma fração
    
    
    
    Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z
    
    
    
    Lembrar que i² = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes, para obter
    
    




Diferença e divisão de números complexos
Diferença de números complexos: A diferença entre os números complexos z=a+bi e w=c+di é o número complexo obtido pela soma entre z e -w, isto é: z-w=z+(-w).
Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e w=5+12i é z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i.
Divisão de números complexos: A divisão entre os números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo) é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w^-1, isto é: z/w=z.w^-1.
Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e o denominador da fração z/w pelo conjugado de w:




Representação geométrica de um número complexo
Um número complexo da forma z=a+bi, pode ser representado do ponto de vista geométrico no plano cartesiano, como um ponto (par ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real do número complexo a no eixo OX e a ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY, sendo que o número complexo 0=0+0i é representado pela própria origem (0,0) do sistema.




Módulo e argumento de um número complexo
Módulo de um número complexo: No gráfico anterior observamos que existe um triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa é a distância da origem 0 ao número complexo z, normalmente denotada pela letra grega ro nos livros, mas aqui denotada por r, o cateto horizontal tem comprimento igual à parte real a do número complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do número complexo z.
Desse modo, se z=a+bi é um número complexo, então r²=a²+b² e a medida da hipotenusa será por definição, o módulo do número complexo z, denotado por |z|, isto é:

Argumento de um número complexo: O ângulo ø formado entre o segmento OZ e o eixo OX, é denominado o argumento do número complexo z. Pelas definições da trigonometria circular temos as três relações:
cos(ø)=a/r,  sen(ø)/r,  tan(ø)=b/a
Por experiência, observamos que é melhor usar o cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o argumento, uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.



Forma polar e sua multiplicação
Forma polar de um número complexo: Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadas anteriormente, podemos escrever:
z = a+bi = r cos(ø) + r i sen(ø) = r (cos ø + i sen ø)
e esta última é a forma polar do número complexo z.
Multiplicação de complexos na forma polar: Consideremos os números complexos:
z = r (cos m + i sen m)

w = s (cos n + i sen n)
onde, respectivamente, r e s são os módulos e m e n são os argumentos destes números complexos z e w.
Realizamos o produto entre estes números da forma usual e reescrevemos o produto na forma:
z . w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)]
Este fato é garantido pelas relações:
cos(m+n) = cos(m) cos(n) - sen(m) sen(n)

sen(m+n) = sen(m) cos(n) + sen(n) cos(m)



Potência de um número complexo na forma polar
Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k de um número complexo. Como
z = r [cos(m) + i sen(m)]

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