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Divisão Proporcional
Divisão em duas partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas
| A p |
= | B q |
|---|
A solução segue das propriedades das proporções:
| A p |
= | B q |
= | A+B p+q |
= | M p+q |
= K |
|---|
O valor de K é que proporciona a solução pois:
A = K p e B = K q
Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:
| A 2 |
= | B 3 |
= | A+B 5 |
= | 100 5 |
= 20 |
|---|
Segue que A=40 e B=60.
Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:
| A 8 |
= | B 3 |
= | A-B 5 |
= | 60 5 |
=12 |
|---|
Segue que A=96 e B=36.
Divisão em várias partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.
| X1 p1 |
= | X2 p2 |
= ... = | Xn pn |
|---|
A solução segue das propriedades das proporções:
| X1 p1 |
= | X2 p2 |
=...= | Xn pn |
= | X1+X2+...+Xn p1+p2+...+pn |
= | M P |
= K |
|---|
Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:
| A 2 |
= | B 4 |
= | C 6 |
= | A+B+C P |
= | 120 12 |
=10 |
|---|
logo A=20, B=40 e C=60.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.
A solução segue das propriedades das proporções:
| A 2 |
= | B 4 |
= | C 6 |
= | 2A+3B-4C 2×2+3×4-4×6 |
= | 120 -8 |
= – 15 |
|---|
logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-)
Divisão em duas partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:
| A 1/p |
= | B 1/q |
= | A+B 1/p+1/q |
= | M 1/p+1/q |
= | M.p.q p+q |
= K |
|---|
O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.
Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:
| A 1/2 |
= | B 1/3 |
= | A+B 1/2+1/3 |
= | 120 5/6 |
= | 120.2.3 5 |
= 144 |
|---|
Assim A=72 e B=48.
Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:
| A 1/6 |
= | B 1/8 |
= | A-B 1/6-1/8 |
= | 10 1/24 |
= 240 |
|---|
Assim A=40 e B=30.
Divisão em várias partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso
| X1 1/p1 |
= | X2 1/p2 |
= ... = | Xn 1/pn |
|---|
cuja solução segue das propriedades das proporções:
| X1 1/p1 |
= | X2 1/p2 |
=...= | Xn 1/pn |
= | X1+X2+...+Xn 1/p1+1/p2+...+1/pn |
= | M 1/p1+1/p2+...+1/pn |
|---|
Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:
| A 1/2 |
= | B 1/4 |
= | C 1/6 |
= | A+B+C 1/2+1/4+1/6 |
= | 220 11/12 |
= 240 |
|---|
A solução é A=120, B=60 e C=40.
Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:
| A 1/2 |
= | B 1/4 |
= | C 1/6 |
= | 2A+3B-4C 2/2+3/4-4/6 |
= | 10 13/12 |
= | 120 13 |
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logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.
Existem proporções com números fracionários! :-)
Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:
| A c/p |
= | B d/q |
= | A+B c/p+d/q |
= | M c/p+d/q |
= | M.p.q c.q+p.d |
=K |
|---|
O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.
Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:
| A 2/5 |
= | B 3/7 |
= | A+B 2/5+3/7 |
= | 58 29/35 |
= 70 |
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Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.
Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções:
| A 4/6 |
= | B 3/8 |
= | A-B 4/6-3/8 |
= | 21 7/24 |
= 72 |
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Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.
Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso
| X1 p1/q1 |
= | X2 p2/q2 |
=...= |
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