Aplicações das Razões e Proporções

Proporções com números

Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

1. Os números A, B, C e D são denominados termos

2. Os números A e B são os dois primeiros termos

3. Os números C e D são os dois últimos termos

4. Os números A e C são os antecedentes

5. Os números B e D são os consequentes

6. A e D são os extremos

7. B e C são os meios

8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa razão.

Propriedades das proporções

Para a proporção

valem as seguintes propriedades:

1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

   A · D = B · C

2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

   A+B A	=	C+D C	e	A-B A	=	C-D C

3. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:

   A+B B	=	C+D D	e	A-B B	=	C-D D

4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:

   A+C B+D	=	A B	=	A-C B-D	e	A+C B+D	=	A-C B-D	=	C D

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:

Exemplos:

1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos)

   15 minutos 50 cm	30 minutos 100 cm	45 minutos 150 cm

   Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:

   Tempo (min)	Altura (cm)
   15	50
   30	100
   45	150

   Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.

   Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

   (a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais:

   15 30	=	50 100	=	1 2

   (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais:

   15 45	=	50 150	=	1 3

   Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

2. Em média, um automóvel percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação:

   Distância (Km)	Tempo (h)
   80	1
   160	2
   240	3

   Notamos que quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a distância percorrida e quando o intervalo de tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção.

   Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de outro modo.

   (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na razão de 1/2 enquanto a distância percorrida varia na razão 80/160. Assim temos que tais razões são iguais, isto é:

   1 2	=	80 160	=	1 3

   (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de 160 Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na razão 2/3 e a distância percorrida na razão 160/240 e observamos que essas razões são iguais, isto é:

   2 3	=	160 240	=	1 3

   Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:

X · Y = K

Exemplos:

1. A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.

   o melhor aluno receberá 24 livros
   cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livros
   cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livros
   cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livros
   cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros
   

   Alunos escolhidos	Livros para cada aluno
   1	24
   2	12
   3	8
   4	6
   6	4

   De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

   1. Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.

   2. Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.

   3. Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.

   4. Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

   Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.

   Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.

   Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

   2 4	=	1 12/6	=	1 2	e	12 6	=	1 2/4	=2

   Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4. Observemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

   2 6	=	1 12/4	e	12 4	=	1 2/6

   Representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a função f(x)=24/x, apresentada no gráfico

   

2. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 Km da primeira. Se o percurso é realizado em:

   1 hora, velocidade média de 120 Km/h
   2 horas, velocidade média de 60 Km/h
   3 horas, velocidade média de 40 Km/h
   

   A unidade é Km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação é:

   Velocidade (Km/h)	Tempo (h)
   120	1
   60	2
   40	3

   De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 120 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 40 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.

   Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.

Elementos históricos sobre a Regra de três

Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

Regra de três simples direta

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

assim

Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro).

Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção:

Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.

Regra de três simples inversa

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.

Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

A · B = K    e   C · D = K

segue que

A · B = C · D

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Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos:

Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.

Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.

Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.

Regra de três composta

Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:

Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.

Exemplos:

1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?

   Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

   No. de máquinas (A)	No. de dias (B)	No. de peças (C)
   5	6	400
   7	9	X

   A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

   Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

   Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.